APHM Angewandte Physik und höhere Mathematik

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Inhaltsverzeichnis

Zahlensysteme

Ein Zahlensystem (seltener auch Zahlsystem genannt) ist ein System zur Darstellung von Zahlen.

Randnotiz: Interaktiver Rechner

Auf der Webseite von Arndt Brünner über Zahlensysteme gibt es, neben diverser Erklärungen zu den ganzen Zahl-Systemen und dessen Rechen-Wege, auch einen interaktiven Rechner der einem interaktiv den Rechen-Weg Schritt-für-Schritt erklärt.

Aufbau

Im Alltag und in der Wissenschaft wird eine Zahl üblicherweise durch Ziffern (0, 1, 2, …, 9, die allein die ersten zehn der natürlichen Zahlen darstellen, und Buchstaben) und weitere Zahlenzeichen wie Vorzeichen (plus, minus) und Trennzeichen (Komma, Leerzeichen) dargestellt. Die Anzahl der verwendeten Ziffern wird „Basis (B) des Stellenwertsystems“ genannt. Die gängigsten Basen sind 2 (beim Dualsystem), 8 (beim Oktalsystem), 10 (beim im Alltag gebrauchten Dezimalsystem) oder 16 (beim in der Datenverarbeitung wichtigen Hexadezimalsystem).

Die kleinste Ziffer ist üblicherweise 0, die größte Ziffer hat den Wert B-1.


Stellenwertsystem

Ein Stellenwertsystem ist ein Zahlensystem, bei dem die (additive) Wertigkeit eines Symbols von seiner Position, der Stelle, abhängt.

Beispielsweise besitzen im weit-verbreiteten Zehnersystem für den Beispiels-Wert „127“

  • die Ziffer „1“ den Wert , dazu addiert sich für
  • die Ziffer „2“ der Wert sowie für
  • die Ziffer „7“ der Wert


Dezimalsystem (Base 10)

In der Regel wird unter "Zahlensystem" speziell das Dezimalsystem mit Stellenwertsystem verstanden, das in der indischen Zahlschrift entwickelt, durch arabische Vermittlung an die europäischen Länder weitergegeben wurde und heute weltweit als ein internationaler Standard etabliert ist.

Im Dezimalsystem verwendet man die zehn Ziffern: 0 (Null), 1 (Eins), 2 (Zwei), 3 (Drei), 4 (Vier), 5 (Fünf), 6 (Sechs), 7 (Sieben), 8 (Acht), 9 (Neun).

Aufteilung des Beispiel-Wertes 347: = 3 Hunderter + 4 Zehner + 7 Einer

  =  = 
  =   =  
  =    =    
                  -----
                    


Binär/Dualsystem (Base 2)

Das Dualsystem, auch Zweiersystem oder Binärsystem genannt, ist ein Zahlensystem, das zur Darstellung von Zahlen nur zwei verschiedene Ziffern benutzt. Oft werden für diese Ziffern die Symbole 0 und 1 verwendet.

Da "0 und 1" auch für "ja oder nein", "an oder aus" oder "Strom oder nicht-Strom" stehen kann ist es das Zahlensystem mithiöfe dessen Computer "rechnen" und Daten speichern: Die kleinste Informationseinheit, das Bit, ist gerade die Information über die beiden Möglichkeiten 1 oder 0.

Das Wort "Bit" steht hierbei für "Binary Digit", auf Deutsch "Binärzahl". Eine weitere Einheit, die man in Zusammenhang mit Bit hört, ist das Byte (Auch Oktett genannt). Ein Byte ist einfach nur eine Folge aus 8 Bit. 1 Byte kann (in Dezimalzahlen dargestellt) 0-255 darstellen, 2 Bytes (= 16 Bits) schon 0-65535.

Bytes in verschiedenen Vorsätzen und dessen Verwendung (Binärpräfixe gemäß IEC, siehe weiter unten)
Kurzform Bezeichnung Größe (Relational) Verwendung
B Byte 8 Bits
KB KiloByte 1024 Byte Dateien
MB MegaByte 1024 KB RAM-Speicher, Dateien
GB GigaByte 1024 MB Speicherkapazität von Datenträger (USB-Sticks, DVDs, SD-Karten), Dateien und RAM-Speicher
TB TerraByte 1024 GB Speicherkapazität von Massenspeicher (Festplatten)
PB PetaByte 1024 TB

Bedeutung von Dezimal und Binärpräfixen

Wikipedia-Eintrag: Bedeutungen von Dezimal- und Binärpräfixen für große Anzahlen von Bytes

SI-Präfixe

Für Datenspeicher mit binärer Adressierung ergeben sich technisch Speicherkapazitäten basierend auf Zweierpotenzen ( Byte). Da es bis 1996 keine speziellen Einheitenvorsätze für Zweierpotenzen gab, war es üblich, die eigentlich dezimalen SI-Präfixe im Zusammenhang mit Speicherkapazitäten zur Bezeichnung von Zweierpotenzen zu verwenden (mit Faktor statt ).

Heutzutage sollten die Präfixe nur noch in Verbindung mit der dezimalen Angabe der Speichergrößen benutzt werden. Ein Beispiel:

  • 1 Kilobyte (kB) = 1000 Byte,
  • 1 Megabyte (MB) = 1000 Kilobyte = 1000 × 1000 Byte = 1.000.000 Byte und so weiter

Bei Speichermedien wie HDD- und SSD-Laufwerken ist dies weit verbreitet, während die Größe von Arbeitsspeicher (RAM), Grafikspeicher und Prozessor-Cache nur binär angegeben werden kann, da die entsprechenden Systeme technisch binär arbeiten.


Vereinzelt kommen auch Mischformen vor: Microsofts Windows zeigt noch heute die SI-Präfixe an, obwohl es Größenangaben mit Zweierpotenzen berechnet. Beispiel:

  • Angezeigt: 1,44 MB ⇒ Aber es sind:

IEC-Präfixe

Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, schlug die IEC 1996 neue Einheitenvorsätze vor, die nur in der binären Bedeutung verwendet werden sollten. Dabei wird eine den SI-Präfixen ähnlich lautende Vorsilbe um die Silbe „bi“ ergänzt, die klar-stellen soll, dass es sich um ein binäres Vielfaches handelt. Ein Beispiel:

  • 1 Kibibyte (KiB) = 1024 Byte
  • 1 Mebibyte (MiB) = 1024 × 1024 Byte = 1.048.576 Byte.

Vergleich

Microsoft rechnet für Datengrößen immer mit Zweierpotenzen, gibt diese dann aber mit Hilfe der SI-Präfixe an. So wird also ein 128-GB-Speichermedium als 119,2 GB angezeigt, obwohl es laut IEC 119,2 GiB lauten müsste.

Hinzu kommt die Verwirrung der Benutzer, dass laut Microsoft 120 GB (eigentlich 120 GiB) nicht auf ein mit 128 GB beworbenes Speichermedium passen und ein Fehler ausgegeben wird. Vergleich:

  • 128 GB (128.000.000.000 Byte) 120 GiB ()

Dieser Unterschied wird erst bei größeren Einheiten erkennbar:

Vergleichstabelle Dezimalpräfix gemäß SI-Standard vs. Binärpräfix gemäß IEC-Standard. Quelle: Wikipedia
Dezimalpräfixe   Unterschied
gerundet
  Binärpräfixe gemäß IEC
Name Symbol Anzahl Bytes[G 1] Name Symbol Anzahl Bytes
Kilobyte kB[G 2] 1 000 = 103 2,4 % Kibibyte KiB[G 3] 1 024 = 210
Megabyte MB 1 000 000 = 106 4,9 % Mebibyte MiB 1 048 576 = 220
Gigabyte GB 1 000 000 000 = 109 7,4 % Gibibyte GiB 1 073 741 824 = 230
Terabyte TB 1 000 000 000 000 = 1012 10,0 % Tebibyte TiB 1 099 511 627 776 = 240
Petabyte PB 1 000 000 000 000 000 = 1015 12,6 % Pebibyte PiB 1 125 899 906 842 624 = 250
Exabyte EB 1 000 000 000 000 000 000 = 1018 15,3 % Exbibyte EiB 1 152 921 504 606 846 976 = 260
Zettabyte ZB 1 000 000 000 000 000 000 000 = 1021 18,1 % Zebibyte ZiB 1 180 591 620 717 411 303 424 = 270
Yottabyte YB 1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1024 20,9 % Yobibyte YiB 1 208 925 819 614 629 174 706 176 = 280
  1. SI-Präfixe sind nur für SI-Einheiten standardisiert; Byte ist keine SI-Einheit
  2. wird gelegentlich mit „KB“ abgekürzt
  3. wird gelegentlich (standardwidrig) mit „KB“ abgekürzt, mitunter um den Unterschied zu „kB“ zu kennzeichnen


Dezimal in Binär

Methode 1: Dividieren

Gehe nach folgendem Verfahren vor:

 (1) Teile die Zahl mit Rest durch 2.
 (2) Der Divisionsrest ist die nächste Ziffer (von rechts nach links).
 (3) Falls der (ganzzahlige) Quotient = 0 ist, bist du fertig,
     andernfalls nimm den (ganzzahligen) Quotienten als neue Zahl 
     und wiederhole ab (1).
 (4) Am Ende die Zahl von unten nach oben schreiben.
 
     347 : 2 = 173  Rest: 1
     173 : 2 =  86  Rest: 1
      86 : 2 =  43  Rest: 0
      43 : 2 =  21  Rest: 1
      21 : 2 =  10  Rest: 1
      10 : 2 =   5  Rest: 0
       5 : 2 =   2  Rest: 1
       2 : 2 =   1  Rest: 0
       1 : 2 =   0  Rest: 1
 
                Resultat: 101011011

Methode 2: Tabelle und subtrahieren

Ein anderes Verfahren um ein Oktett (max. 255) schneller auszurechnen:

  1. Die Vielfachen () des Dualsystems in Tabellen-Form (Von links nach rechts, 128 -> 1) aufschreiben
  2. Jetzt von links nach rechts wie folgt arbeiten:

Schauen, ob unsere Zahl in die Zahl der Spalte (zB. 128) reinpasst.

  • Wenn ja, "1" drunter schreiben und die Zahl der Spalte von unserer Zahl abziehen, und mit dieser weiter-prüfen. (zB. 177-128=49)
  • Wenn nein, "0" drunter schreiben und mit der nächsten Spalte einfach fortfahren.

Hier ein Beispiel mit der Zahl "177".
Die 3. Zeile ist nur ein Zusatz von mir, in der steht wie die Zahl nach dem abziehen aussieht (Falls abgezogen wurde).

Vielfache: 128 64 32 16 8 4 2 1
Stand Bn: 1 0 1 1 0 0 0 1
Stand Dz: 177 49 17 1 0

Am Ende hat man seine Binärzahl direkt in der richtigen Schreib-Reihenfolge (Links -> Rechts): "10110001".

Binär in Dezimal

Gehe nach folgendem Verfahren vor:

(1) Drehe die Binärzahl um.
(2) Schreibe die einzelnen Ziffern untereineinander.
(3) Multipliziere jede Ziffer mit , wobei  jede Zeile um 1 steigt.

    1 * 20   (0) =      1
    0 * 21   (2) =      0
    1 * 22   (4) =      4
    0 * 23   (8) =      0
    1 * 24  (16) =     16
    1 * 25  (32) =     32
    0 * 26  (64) =      0
    1 * 27 (128) =    128
    1 * 28 (256) =    256
                     -----
         Resultat:    347

Die folgende Tabelle soll das Prinzip noch einmal veranschaulichen:

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 213 214 215 216
0 1 2 4 8 16 32 64 128 => 256 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 => 65535

Binär addieren

Hier gelten die Regeln:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 Ü1

Beispiel:

   11001110 => 206
 + 01001101 =>  77
 + 11011001 => 217
 ----------------
  111110100 => 500

Binär subtrahieren

Hier gelten die Regeln:

0 - 0 = 0
0 - 1 = 1 Ü1
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0

Beispiel:

   11011001 => 217
 - 01001101 =>  77
 -----------------
   10001100 => 140


Hexadezimalsystem (Base 16)

Zahl Buchstabe
10 A
11 B
12 C
13 D
14 E
15 F

In der Datenverarbeitung wird das Hexadezimalsystem sehr oft verwendet, da es sich hierbei letztlich um eine komfortablere Verwaltung des Binärsystems handelt. Die Datenwörter bestehen in der Informatik meist aus Oktetten, die statt als achtstellige Binärzahlen auch als nur zweistellige Hexadezimalzahlen dargestellt werden können.

Wir sind es gewohnt, im Dezimalsystem zu rechnen. Das bedeutet, unser indo-arabisches Zahlensystem verwendet zehn Symbole zur Notation der Ziffern (0 bis 9). Das Hexadezimalsystem enthält dagegen sechzehn Ziffern. Seit Mitte der 1950er Jahre werden zur Darstellung der sechs zusätzlichen Ziffern die Buchstaben A bis F oder a bis f als Zahlzeichen verwendet. Dies geht auf die damalige Praxis der IBM-Informatiker zurück.

Dezimal in Hexa

Die Dezimalzahl "347" wird ins Hexadezimalsystem umgewandelt

Gehe nach folgendem Verfahren vor:

(1) Teile die Zahl mit Rest durch 16.
(2) Der Divisionsrest ist die nächste Ziffer (von rechts nach links).
    Für Reste > 9 nimm die Buchstaben A, B, C, D, E, F
(3) Falls der (ganzzahlige) Quotient = 0 ist, bist du fertig,
    andernfalls nimm den (ganzzahligen) Quotienten als neue Zahl 
    und wiederhole ab (1).

    347 : 16 =  21  Rest: 11   --> Ziffer: B
     21 : 16 =   1  Rest:  5   --> Ziffer: 5
      1 : 16 =   0  Rest:  1   --> Ziffer: 1

                                 Resultat: 15B

Hexa in Dezimal

Die Hexadezimalzahl "15B" wird ins Dezimalsystem umgewandelt

Gehe nach folgendem Verfahren vor:

(1) Drehe die Hexadezimal-Zahl um.
(2) Schreibe die einzelnen Ziffern unter-einander.
(3) Multipliziere jede Ziffer mit , wobei  jede Zeile um 1 steigt.
    B:  11 ·   1 =   11
    5:   5 ·  16 =   80
    1:   1 · 256 =  256
                   -----
                    347

Die folgende Tabelle soll das Prinzip noch einmal veranschaulichen:

160 161 162 163 164 165 166 167 168
0 1 16 256 4096 65536 1048576 16777216 268435456 => 4.294.967.295


Hex addieren

Beispiel:

 ABC
 CBA
 ---
1776

Vorgangsweise:

Man addiert wie im normalen Dezimalsystem, mit dem Unterschied dass die Buchstaben zuerst (im Kopf) in Zahlen umgewandelt werden und ein Übertrag erst Stattfindet wenn die addierte Zahl größer als 16 ist.
-> Sprich: Falls das Ergebnis der Addition größer als 16 ist, wird "16" abgezogen und 1 zum Übertrag addiert und die resultierende Dezimalzahl geschrieben - Wenn größer als 32 wird "32" abgezogen mit 2 im Übertrag, etc..
     HEX        IN DEZ RECHNEN     ÜBTRG ENTFERNEN    RESULTAT
  A + C      =    10 + 12       =     22 - 16     =     6 Ü1
  B + B + Ü1 =    11 + 11 + 1   =     23 - 16     =     7 Ü1
  A + C + Ü1 =    10 + 12 + 1   =     23 - 16     =     7 Ü1
                                                        1
Dezimal 16 ... 25 26 27 28 29 30 31 32 ...
Hexadezimal 10 ... 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20 ...

Hex subtrahieren

Beispiel ohne Übertrag:

  ABF
- A7C
 -----
   43

Vorgangsweise:

Man subtrahiert wie im normalen Dezimalsystem, mit dem Unterschied dass die Buchstaben zuerst (im Kopf) in Zahlen umgewandelt werden:
  C(12) und wie viel ist F(15) ? 3
  7(7)  und wie viel ist B(11) ? 4
  A(10) und wie viel ist A(10) ? 0

Anderes Beispiel mit Übertrag:

  FFE
- A7F
 -----
  57F

Vorgangsweise:

Man subtrahiert wie im normalen Dezimalsystem, mit dem Unterschied dass die Buchstaben zuerst (im Kopf) in Zahlen umgewandelt werden:
  F(15)   und wie viel ist E([14 + Base]30)  ? 15, Ü1
  7+Ü1(8) und wie viel ist F(15)             ? 7
  A(10)   und wie viel ist F(15)             ? 5







Elektrik - Geschichte (#1)

Bis zum Ende des 18. Jahrhunderts wurde das Thema der Elektrizität noch als magischer oder göttlicher Einfluss wahrgenommen. (Man konnte sich auf Veranstaltungen elektrisieren lassen)

Erst die umfangreichen Versuche von Ørsted und Galvani gingen über diese schauspielerische Darstellung hinaus und führten unter anderem zur Entwicklung erster Spannungsquellen.

Die im 19. Jahrhundert betriebene Grundlagenforschung führte unter anderem 1854 zur Erfindung der Glühlampe durch Thomas Alva Edison.

Die Erzeugung von Elektrizität mittels Magnetismus war eine weitere wichtige Entwicklung zur technischen Nutzung. Den ersten Generator nach diesem Verfahren erfand Werner von Siemens im Jahre 1866.


Neben der energietechnischen Anwendung wurde die Elektrotechnik im verstärktem Maße zur Übermittlung von Nachrichten verwendet. Die zuerst an Leitung gebundene Informationsübertragung wurde durch die drahtlose Übertragung von Signalen ergänzt.


Mit der Entwicklung der ersten elektronischen Rechenmaschinen (Konrad Zuse / Hovard H. Aiken) hielt die Elektrotechnik Einzug in die elektronische Datenverarbeitung.
Die Entwicklung des Mikroprozessors als ein hochintegriertes elektronisches sowie auch günstiges Bauteil hat für eine weite Verbreitung von Computern gesorgt.



Elektronische Grundgrößen (#2)


Aufbau der Materie (#2.1.1)

Die elektrische Ladung lässt sich durch den Aufbau der Materie erklären. Alle Stoffe sind aus Atomen (griech. atomos = unteilbar) aufgebaut. Da wir Sie nicht sehen können, wird mit Hilfe von theoretischen Modellen das Verhalten von Atome beschrieben.
Eines der bekanntesten Modelle ist das Bohrsche Atommodell.

  • Protonen: [+] Sind positiv geladene Elementarteilchen des Atomkerns. Sie tragen die kleinste elektronische Ladung die möglich ist.
  • Neutronen: [~] Sind elektrisch neutrale Elementarteilchen des Atomkerns
  • Elektronen: [-] Sind negativ geladene Teilchen der Atomhülle. Sie tragen eine den Protonen entgegengesetzte Elementarladung.

Elektrische Eigenschaften der Atome (#2.1.2)

Atome wirken immer dann nach außen elektrisch neutral, wenn sie gleiche viele Protonen wie Elektronen haben. Ist dieses Gleichgewicht gestört, spricht man von sog. Ionen.


Elektrische Felder (#2.2)

Das elektrische Feld ist ein Raum, in dem Ladungen (von Gegenständen) Kräfte ausgeübt werden.


Elektrische Spannung (#2.3)

Formelzeichen: 
Einheit: Volt []

Zwischen verschiedenartigen Ladungen wirkt eine Anziehungskraft. Werden diese voneinander entfernt, so muss gegen die Anziehungskraft eine Arbeit verrichtet werden. Diese Arbeit ist nun als Energie in den Ladungen gespeichert, wodurch zwischen den Ladungen eine Spannung entsteht - Spannung entsteht durch Trennung von Ladungen

Zur Messung der Spannung wird das Messgerät an die Anschlüsse des Erzeugers bzw. Verbrauchers geschaltet.


Eine Spannungsquelle formt die nicht-Elektrische Energie in Elektrische Energie um.

In einer Spannungsquelle (z.B. Batterie, Generator) werden unter Energieaufwand elektrische Ladungen voneinander getrennt.

  • Die eine Klemme der Spannungsquelle erhält dadurch Elektronen-Überschuss (- Pol), die andere einen Elektronen-Mangel (+ Pol).


Elektrischer Strom (#2.4)

* Formelzeichen: 
* Einheit: Ampere []

Die Spannung ist die Ursache für den elektrischen Strom.


Metalle haben Elektronen, die im inneren des Metalls frei beweglich sind. Sie bewegen sich von der Stelle mit Elektronenüberschuss zur Stelle mit Elektronenmangel.
Diese gerichtete Bewegung von Elektronen nennt man elektrischen Strom.

Zur Messung der Stromstärke wird das Messgerät in den Stromkreis geschaltet.


Der Spannungserzeuger übt eine Kraft auf die freien Elektronen aus, die sich (nach dem Schließen des Stromkreises) fast mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Die Elektronen im Leiter bewegen sich dagegen nur mit sehr geringer Geschwindigkeit (wenige mm/s).

  • Technische Stromrichtung (Teilchenfluss): [+] -> [-]
  • Elektronenstrom: [-] -> [+]


Elektrischer Strom fließt nur im geschlossenen Stromkreis. Der Stromkreis besteht aus dem Erzeuger, dem Verbraucher und der Leitung dazwischen.


Elektrischer Widerstand (#2.5)

* Formelzeichen: 
* Einheit: Ohm []
spezifischer Leiterwiderstand von unterschiedlichen Werkstoffen bei einer Temperatur von 20*C Quelle
Werkstoff ρ20[Ωmm²*m]
Bronze 0,02...0,05
Aluminium 0,03
Silber 0,016
Kupfer 0,017
Gold 0,02
Wolfram 0,055
Messing 0,06...0,083
Nickel 0,06...0,1
Platin 0,1
Eisen 0,14
Manganin 0,43
Konstantan 0,5
Chrom-Nickel 0,71...1,11
Kohle 10....60

Dem Fluss des elektrischen Stromes durch ein bestimmtest Material wird ein mehr oder weniger großer Widerstand entgegengesetzt. Dieser ist vom Material und von der Temperatur abhängig. Der Kehrwert des Widerstandes ist der Leitwert .

Formel zur Umkehrung von "Leitwert < - > Widerstand" (sog. "Kehrwert"):

  • Widerstand mithilfe des Leitwertes berechnen:
  • Leitwert mithilfe des Widerstandes berechnen:


Leiterwiderstand (#2.5.1)

Der Widerstand eines Leiters hängt von der Länge, vom Querschnitt und vom Leitwerkstoff ab.

Dabei gelten die Formeln:

  • oder


  • oder


  • oder

Wobei der Querschnitt auch mithilfe des Durchmessers/Radius berechnet werden kann. (Kreisformel):

Bedeutung der Zeichen:

R: Widerstand des Leiters in Ω (Ohm).
A: Querschnitt des Leiters in mm².
l: Länge des Leiters in m.
p (Roh): spezifischer Widerstand, gibt den Widerstand eines Leiters von 1m Länge und 1mm² Querschnitt an. (Einheit: Ω*mm² / m) (Tabellenwert)
y (Gamma): spezifischer Leitwert, gibt an wie viel Draht mit einem Querschnitt von 1mm² man benötigt um einen Widerstand von 1-Ohm zu erhalten. (Einheit: m / Ω*mm²) (Tabellenwert)


Beispiel Aufgaben-Text:

Ein Leiter aus Kupfer ist 300 m lang und weist einen Querschnitt von 300 mm² auf. Wie groß ist der Widerstand bei einer Raumtemperatur von 20 Grad Celsius?

Lösung: Die Länge und Querschnittsfläche entnehmen wir der Aufgabenstellung. Den Wert für den spezifischen Widerstand bei 20 Grad Celsius entnehmen wir einer Tabelle. Diese Angaben setzen wir in die Formel ein und berechnen den Widerstand. Das sieht dann so aus:

TODO


Ohmsches Gesetz (#2.6)

Merkhilfe für den Zweisatz; anwendbar auf die drei Schreibweisen der aus dem ohmschen Gesetz folgenden Gleichung mit dem Akronym : Horizontal: Multiplikation, Vertikal: Division (Bruch).

Den Zusammenhang zwischen Stromstärke, Spannung und Widerstand nennt man Ohmsches Gesetz, nach seinem Entdecker "Georg Simon Ohm". Es gilt:






Alle Formeln auf einem Blick: Elektrischer Widerstand

(Zusatz von mir)

Leitwert (G) in Leiterwiderstand (R) umrechnen und umgekehrt

gegeben: Leiterwiderstand (R)
gesucht: Leitwert (G)
Lösung:  aka.  
gegeben: Leitwert (G)
gesucht: Leiterwiderstand (R)

Lösung:  aka. 

Drahtwiderstand (R) mithilfe von spez. Widerstand (p), Drahtlänge (l) und Querschnitt (A) berechnen

gegeben:
 spez. Widerstand (p)
 Länge (l)
 Querschnitt (A)
gesucht: Drahtwiderstand (R)

Lösung:  aka. 

spez. Widerstand (p) mithilfe von Drahtwiderstand, Drahtlänge und Querschnitt

gegeben:
 Drahtwiderstand (R)
 Länge (l)
 Querschnitt (A)
ges: spez. Widerstand (p)

Lösung:  aka.  

Drahtlänge (l) mithilfe von Drahtwiderstand, spez. Widerstand und Querschnitt

gegeben:
 Drahtwiderstand (R)
 spez. Widerstand (p) 
 Querschnitt (A)
ges: Länge (l)

Lösung:  aka.  

Windungszahl (n) mithilfe von Drahtlänge und Drahtdurchmesser

gegeben:
 Länge der Spule (l)
 Drahtdurchmesser (A)
ges: Windungszahl (n) (Wie oft kann ein Draht um eine Spule gewickelt werden)

Lösung:  aka. 

(Drahtdurchmesser = Die Hälfte des Durchmesser des Kerns un dem man wickelt + die hälfte des Durchmessers des Drahts! (Laut Notiz))

Drahtlänge (l) mithilfe von Windungszahl und Spulendurchmesser

gegeben:
 Spulen-Durchmesser
 Windugszahl (n)
ges: Drahtlänge (l)

Lösung: 
 aka.  
aka.





Temperaturabhängiger Widerstand

Werden elektrische Schaltungen betrieben, so werden diese wärmer. Dadurch ändert sich der Widerstandswert von Leitungen und Bauteilen. In manchen Fällen ist dies völlig egal, in anderen ist die Änderung der Widerstandswerte jedoch sehr kritisch.

Kaltleiter / PTC-Widerstand (alle Metalle)

Schaltzeichen eines PTC-Widerstandes

Der Widerstandswert von Kaltleitern nimmt bei steigender Temperatur zu. Werkstoffe, deren Widerstand sich bei zunehmender Temperatur erhöhen, besitzen einen positiven Temperaturkoeffizienten und werden als PTC-Widerstände bezeichnet.

Alle Metalle besitzen einen positiven Temperaturkoeffizienten.


Heißleiter / NTC-Widerstand

Schaltzeichen eines NTC-Widerstandes

Der Widerstandswert von Heißleitern nimmt mit steigender Temperatur ab. Werkstoffe, deren Widerstand sich bei zunehmender Temperatur verringert, besitzen einen negativen Temperaturkoeffizienten und werden als NTC-Widerstände bezeichnet.

Alle Halbleiter und Kohlenstoffe besitzen einen negativen Temperaturkoeffizient.


Temperaturkoeffizient

Der Temperaturkoeffizient gibt die Widerstandsänderung eines Werkstoffes mit einem Widerstandswert von einem Ohm bei einer Temperaturänderung von 1 Kelvin an.

Formelzeichen: , Einheit:


Berechnung Temperaturabhängiger Widerstände

 (Delta) ist das Zeichen für "Unterschied"
 (Theta) ist das Zeichen für Temperatur
 (Alpha) ist das Zeichen für den mittleren Temperaturbeiwert/Temperaturkoeffizient (Meißt angegeben!)
-> : Widerstandsänderung
-> : Temperaturdifferenz

 definiert den Temperaturwert nach der Erwärmung (Das  ist hier eine Illustration für "Warm")
 definiert die Ausgangstemperatur (Wenn nicht angegeben: 20°C (Raumtemperatur)) (Das  ist hier eine Illustration für "Kalt")
 steht für den Widerstandswert wenn die Temperatur auf  (z.B. 20°C) ist
->  steht für den Widerstandswert wenn die Temperatur auf den Wert von  (sprich nach der Erwärmung) ist
->  steht für den Widerstandswert wenn die Temperatur auf den Wert von  (sprich Ausgangstemperatur) ist


Wichtigste Formeln:

Berechnung der Widerstands-Änderung: 

Berechnung des mittleren Temperaturbeiwerts/Temperaturkoeffizienten: 

"Eigentlich Logische Formeln":

Berechnen des Warm-Widerstands, wenn Rk und Delta R bekannt sind: 
Berechnung der Widerstands-Änderung, wenn Rk und Rw bekannt sind:
Berechnen der Temperatur-Änderung, wenn vw und Delta v bekannt sind:
Berechnen der Temperatur-Änderung, wenn vw und vk bekannt sind:

Alle Einheiten auf einen Blick (Tabelle) mit Beschreibung

TODO verbessern

Zeichen Name Einheit kurz Beschreibung
Volt Spannung, Ursache: Trennung von Ladungen
Widerstand Widerstand eines Leiters
Leitwert (Siemens) Kehrwert des Widerstandes
Strom fließender Strom, Ursache: Spannung
spezifischer Widerstand Widerstand eines Werkstoffes (meißt in Tabelle einsehbar)
spezifischer Leitwert Leitwert eines Werkstoffes (meißt in Tabelle einsehbar)
Länge
Querschnitt Querschnitt (Fläche) eines Objekts
Umfang Umfang (eines Kreises)
Windungszahl Wie oft man einen Draht um ein Objekt winden kann
(Delta) Zeichen für Unterschied
(Theta) Temperatur
(Alpha) Temperaturbeiwert/Temperaturkoeffizient


Arbeit, Energie, Leistung (#3)

Mechanische Arbeit und Energie (#3.1)

Wird gegen eine Kraft, z.B. gegen die Schwerkraft, ein Weg zurückgelegt, wird mechanische Arbeit verrichtet.

Je größer die Kraft () und je länger der Weg (), desto mehr mechanische Arbeit () wird verrichtet. In Formeln ausgedrückt:

 oder  

oder , woraus sich die Einheit oder ergibt


Die durch den Gabelstapler hochgehobene Kiste kann die an ihr angeführte Arbeit (z.B. wenn sie herunterfällt) wieder zurückliefern. Sie besitzt mechanische Energie, in diesem Fall potentielle Energie.

Mechanische Leistung (#3.2)

Von mechanischer Leistung spricht man, wenn Arbeit in einer gewissen Zeit verrichtet wird. Je größer die Arbeit und je kürzer die Zeitspanne ist in der sie verrichtet wird, desto höher wird die Leistung.

Trägt z.B. ein Zimmermann 50kg Bretter in einem Neubau zwei Stockwerke über 6m hoch, verrichtet er eine Arbeit von (W = F*s = 50*9,81N*6m = 2943Nm =) 2,943kJ. Zur Ermittlung der Leistung muss man noch die Zeit berücksichtigen - Beeilt er sich, leistet er mehr als wenn er sich viel Zeit lässt. In Formeln ausgedrückt:

 oder 

: Leistung (in , also Watt)
: Elektrische Arbeit (Wenn die Zeit in Sekunden angegeben wird sind es , also Watt-Sekunden, bei Stunden z.B.  für Watt-Stunden)
: Zeit (in , also Sekunden)


Kilogramm und Newton unterscheiden

Physiker sind in ihren Maßeinheiten sehr genaue Menschen.

So ist das "Kilogramm" (geläufige Abkürzung ) eine Einheit für die Masse eines Körpers, in der Alltagssprache auch als Gewicht bezeichnet. Die Masse (und das Gewicht) misst man mit einer Waage, im einfachsten Fall mit einer Balkenwaage, die die Masse eines Körpers mit aufgelegten Eichgewichten vergleicht.

"Newton" (Abkürzung ) dagegen ist die Einheit der Kraft, zu Ehren des bedeutenden englischen Physikers Isaac Newton. Physikalische Kräfte - egal welcher Natur und Art - misst man in dieser Einheit.

Masse und Kraft - so klappt das Umrechnen

Übersicht zur Anziehungskraft von Himmelskörpern [astrokramkiste.de]
Himmelskörper Vielfaches der Anziehungskraft im Vergleich zur Erde = 1
Merkur 0,37
Venus 0,9
Mond 0,16
Mars 0,38
Jupiter 2,53
Saturn 1,07
Uranus 0,91
Neptun 1,14
Pluto 0,08

Zunächst haben die Krafteinheit "Newton" und die Einheit der Masse, das "Kilogramm", nichts miteinander zu tun - handelt es sich doch um zwei völlig verschiedene physikalische Größen.

Der Zusammenhang entsteht - hier auf der Erde - durch die Erdanziehungskraft, die auf Massen wirkt. Mit anderen Worten: Körper mit einem Gewicht in "kg" werden durch die Schwerkraft mit einer Kraft in "Newton" angezogen.

Als Faustformel gilt: wird auf der Erde mit angezogen.

  • Dieser Wert variiert auf der Erde leicht - am Nordpol ist die Schwerkraft größer, am Äquator (durch die Abplattung) etwas kleiner.

Auf dem Mond, der ja kleiner ist und daher eine geringere Anziehungskraft ausübt, hat man jedoch nur-noch mehr um die (1/6), auf dem Jupiter wiederum .




Elektrische Leistung (#3.3)

Bei elektrischen Betriebsmittel, z.B. bei einer Glühlampe, einem Heizofen oder einem Lötkolben, ist die aufgenommene Leistung als Nennleistung angegeben. Die Nennleistung eines Bauteiles gibt an, welche Leistung es unter den angegebenen Betriebsbedingungen aufnehmen kann.


Elektrische Arbeit (#3.4)

Der Stromabnehmer muss verbrauchte elektrische Arbeit dem EVU (Elektrizitäts Versorgungs Unternehmen) bezahlen. Diese Arbeit hängt von der Größe der aufgenommenen elektrischen Leistung und von der Zeit ab, in der diese Leistung dem Netz entnommen wird. In Formeln ausgedrückt:

 oder 

: Elektrische Arbeit (Wenn die Zeit Sekunden angegeben wird wird es in , also Watt-Sekunden, angegeben. Bei Stunden z.B. in  für Watt-Stunden etc.)
: Leistung (in , also Watt)
: Zeit (in , also Sekunden)

Die elektrische Arbeit wird von einem Zähler in Kilowattstunden (kWh) gemessen. Bei den meisten Anbietern zahlt man jeden Monat für jede angebrauchte Kilowattstunde.


Wirkungsgrad (#3.5)

Wirkungsgrad einer GlühlampeQuelle: Wikimedia Commons

In allen Energiewandlern, z.B. in Elektromotoren, entstehen unbeabsichtigte Nebenwirkungen. So erwärmt der elektrische Strom die Drähte der Motorwicklungen. Auch das Eisenblech von Läufern und Ständer wird durch das Ummagnetisieren warm. Außerdem setzt sich Lager- und Luftreibung letztlich in Wärme um.

Der Teil der zugeführten Energie, der für die unerwünschten Nebenwirkungen verbraucht wird, nennt man Verluste. Aus diesem Grund ist die abgegebene Leistung immer kleiner als die aufgenommene Leistung (vgl. Perpetuum Mobile)

Allgemein bezeichnet man das Verhältnis von Nutzen und Aufwand als Wirkungsgrad . Der Wirkungsgrad kann als Dezimalzahl (0~1) oder in Prozent (0~100%) angegeben werden. Er ist immer kleiner als 1 (bzw. 100%). In Formeln dargestellt:

Schaltungen

Parallelschaltung

Parallelschaltung von Widerständen (Siehe Text)Quelle: Elektronik-Kompendium

Eine Parallelschaltung von Widerständen ist dann gegeben, wenn der Strom sich an den Widerständen aufteilt und an allen Widerständen die gleiche Spannung anliegt.

(Siehe rechtes Bild)

  • An Punkt A teilt sich der Strom auf und an Punkt B fließt er wieder zusammen.
  • Zwischen Punkt A und Punkt B liegt die Gesamtspannung an.

Um die Vorgänge von Strom, Spannung und Widerstand in der Parallelschaltung zu verdeutlichen, ist die Spannung von 60V und die Widerstände 1,5 kOhm, 3 kOhm und 6 kOhm vorgegeben:

Spannung
Strom
Widerstand

Verhalten der Spannung

In der Parallelschaltung liegt an allen Widerständen die gleiche Spannung an, also:

Verhalten des Stroms

Der Gesamtstrom teilt sich am Verzweigungspunkt (im Bild gekennzeichnet mit "A") der Widerstände in mehrere Teilströme auf. Die summe der Teilströme ist gleich der Summe des Gesamtstrom , also:

Verhalten der Widerstände

Der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung ist kleiner als der kleinste Einzelwiderstand! Durch jeden Parallelwiderstand steigt der Gesamtstrom an. Bei gleichbleibender Spannung bedeutet das die Verkleinerung des Gesamtwiderstands.

Den Gesamtwiderstand rechnet man aus, indem man alle Leitwerte (=Gegenteil von Widerstandswert) der Widerstände zusammenrechnet: oder

Wenn nur zwei Widerstände Parallel-geschaltet sind, kann man die Formel zur Berechnung des Gesamtwiderstands auch vereinfachen (Bemerke Unterschied im Zähler und im Nenner):

Anwendung der Parallelschaltung

  • Lampen und Haushaltsgeräte im selben Netz
  • Spannungsmesser und Oszilloskope



Reihenschaltung

Reihenschaltung von Widerständen (Siehe Text)Quelle: Elektronik-Kompendium

Eine Reihenschaltung von Widerständen ist dann gegeben, wenn durch alle Widerstände der gleiche Strom fließt. In der Reihenschaltung unterscheidet man zwischen der Spannung Uges der Spannungsquelle und den Spannungsabfällen (U1, U2, U3, ...) an den Widerständen (R1, R2, R3, ...).

Manchmal nennt man die Reihenschaltung auch Serienschaltung. Ganz egal wie, die Widerstände sind immer hintereinander geschaltet.

Um die Vorgänge von Strom, Spannung und Widerstand in der Reihenschaltung zu verdeutlichen, ist die Spannung von 29,75 V und die Widerstände 1000 Ohm, 500 Ohm und 250 Ohm vorgegeben.

Strom
Spannung
Widerstand

Verhalten des Stroms

Der Strom in der Reihenschaltung von Widerständen ist in allen Widerständen gleich groß, also:

Verhalten der Spannung

Die Gesamtspannung teilt sich an den Widerständen in der Reihenschaltung auf. Sie Summe der Teilspannungen ist gleich der Gesamtspannung, also:

Verhalten der Widerstände

Der Gesamtwiderstand der Reihenschaltung setzt sich aus den einzelnen Reihen-Widerständen zusammen, also:

Weil der Gesamtwiderstand in Summe die Teilwiderstände ersetzt, wird er auch als Ersatzwiderstand Rers (RE) bezeichnet.

Verhältnis von Spannung und Widerständen der Reihenschaltung

Da der Strom in der Reihenschaltung überall gleich groß ist, verursachen die ungleichen Widerstände unterschiedliche Spannungsabfälle. Diese Teilspannungen (U1, U2, U3, ...) verhalten sich dabei wie die dazugehörigen Widerstände (R1, R2, R3, ...). Das bedeutet, am größten Widerstand fällt der größte Teil der Gesamtspannung ab. Am kleinsten Widerstand fällt der kleinste Teil der Gesamtspannung ab. Das bedeutet auch, die Teilspannungen stehen im Verhältnis zu den Teilwiderständen.
Der Strom durch die Reihenschaltung kann über die Gesamtspannung und den Gesamtwiderstand oder über eine Teilspannung und dem zugehörigen Teilwiderstand berechnet werden.
Hinweis: Der Strom ist durch alle Widerstände gleich groß.

Gemischte Schaltungen (Gruppenschaltungen)

Eine Schaltung, die aus einer Parallelschaltung und einer Reihenschaltung besteht, nennt man gemischte Schaltung. Manchmal wird auch der Begriff Gruppenschaltung verwendet.


TODO wie man Gruppenschaltungen auflöst/berechnet...

Taschenrechner Training

Zahl Ausdruck Zehnerpotenz Bezeichnung Abkürzung
1 000 000 000 = 1 Milliarde Milliarde 109 Giga G
1 000 000 = 1 Million Million 106 Mega M
1 000 = 1 Tausend Tausend 103 Kilo K
1 = 1 100
0,001 = 1 Tausendstel Tausendstel 10-3 Milli m
0,000 001 = 1 Millionstel Millionstel 10-6 Nano mikro
0,000 000 001 = 1 Milliardstel Milliardstel 10-9 Nano n
0,000 000 000 001 = 1 Milliardstel ? 10-12 Piko p






Datenübertragung (2LJ #2)

Begriffserklärungen

Datenübertragungsrate

Die Datenübertragungsrate (auch Datentransferrate, Datenrate) bezeichnet die digitale Datenmenge, die innerhalb einer Zeitspanne über einen Übertragungskanal übertragen wird.

Sie wird durch das Zählen von Dateneinheiten pro Zeitspanne (Datendurchsatz) gemessen, und typischerweise in Bit pro Sekunde (abgekürzt als Bit/s, bps oder b/s) angegeben.


Die grundlegende Formel lautet:

oder

Dabei ist die Datenübertragungsrate, die Datenmenge und die Zeit.


Größere Werte (kilo-, Mega- oder Gigabit usf.) können mit SI-konformen Einheitenvorsätze (Faktor 1000) gebildet werden, beispielsweise steht 1 kbit/s für 1000 bit/s.

Wird hingegen auf die Einheit Byte (bzw. ein Vielfaches eines Bytes) zurückgegriffen, z.B. bei Speicherkapazitäten, wirkt der Faktor 1024 (Gleicher Faktor der bei den IEC-Präfixes


Eine neue Interpretation mit SI-Einheiten gibt es, aber Sie wird anscheinend in der Praxis eher selten verwendet: Die Unterscheidung zwischen SI-Präfixen (Faktor 1000, zB. "Kilobyte") und IEC-Präfixen (Faktor 1024, zB. "kibibyte"). Mehr dazu im Kapitel "Bedeutung von Dezimal und Binärpräfixen".
Bei den Aufgaben die wir vom Lehrer kriegen gilt deshalb:

  • Bei Speicherkapazitäten (zB. Dateigrößen) den Faktor vom IEC-Präfix verwenden (sprich 1024) und
  • bei Bitraten den Faktor vom SI-Präfix verwenden (sprich 1000).


Formeln für die Datenübertragung

Abkürzung der Formel-Zeichen
Zeichen Bedeutung Beispiel
Rate = Bitrate
Anzahl = Anzahl Datenbits
Zeit
Frame = Frames pro Sekunde
Bit
Daten-Bit(s) = Anzahl an Datenbit(s)
Steuer-Bit(s) = Anzahl an Steuerbit(s)
Synchronisierungs-Bit(s) = Anzahl an Synchronisierungsbit(s)
Stop-Bit(s) = Anzahl an Stopbit(s)

Die Formeln lauten wie folgt:

  • oder


  • oder


  • oder
    • oder
    • oder


Beispiel Aufgabe 4

Aufgabenstellung: Mit welcher Geschwindigkeit ist ein Verbindung synchronisiert, wenn eine Datei mit 1,7 MB in 18 min übertragen wurde.
Frame-Aufbau des Beispiels
Startbit (Stb) Datenbits (Db) Synchronisierungs-Bits (Pab) Stopbit (Sb)
1 8 2 1

Schritt-für-Schritt Lösung

  • Text dechiffrieren:
gegeben:
 Bits pro Frame : 12 Bits (4 Steuerbits + 8 Datenbits)
 Dateigröße : 1,7 MB
 Zeit : 18 Minuten

gesucht:
 Bitrate : ?
  • Dateigröße in Bits berechnen



  • Zeit in Sekunden umrechnen

  • Anzahl an Frames, die während dieser Zeitspanne gesendet wurden, berechnen:

  • Anzahl an Bits, die während dieser Zeitspanne gesendet wurden, berechnen (Dazu zählen auch die Steuerbits aka. der Overhead):

  • Die Bitrate kann nun berechnet werden:



Beispiel Aufgabe 13 (AB DÜ-4)

Aufgabenstellung: Datei mit 58,52 MB wird in einer Leitung mit einer Bitrate(Bandbreite)= 256 000 b/s in 38,35 Minuten übertragen. Wie viele Datenbits hat der Frame?
Frame-Aufbau des Beispiels
Startbit (Stb) Datenbits (Db) Stopbit (Sb)
1 ? 1

Schritt-für-Schritt Lösung

  • Text dechiffrieren:
gegeben:
 Bitrate : 256 000 b/s
 Dateigröße : 58,52 MB
 Zeit : 38,35 Minuten

gesucht:
 Datenbits pro Frame : ? Bits
  • Dateigröße in Bits berechnen



  • Zeit in Sekunden umrechnen

  • Anzahl Bits berechnen

  • Anzahl Steuerbytes berechnen (Anzahl Rohbits - Anzahl Dateibits)

  • Anzahl Frames berechnen

  • Anzahl Frames pro Sekunde berechnen

  • Anzahl Bits pro Frame berechnen

  • Anzahl Datenbits pro Frame berechnen



Beispiel Aufgabe 14 (AB DÜ-4)

Aufgabenstellung: Datei mit 137,479 MB wird in einer Leitung mit einer Bitrate(Bandbreite)= 512 000 b/s in 39,57 Minuten übertragen. Wie viele Datenbits hat der Frame?
Frame-Aufbau des Beispiels
Startbit (Stb) Datenbits (Db) Stopbit (Sb)
1 ? 1

Schritt-für-Schritt Lösung

  • Text dechiffrieren:
gegeben:
 Bitrate : 512 000 b/s
 Dateigröße : 137,479 MB
 Zeit : 39,57 Minuten

gesucht:
 Datenbits pro Frame : ? Bits
  • Dateigröße in Bits berechnen



  • Zeit in Sekunden umrechnen

  • Anzahl Bits berechnen

  • Anzahl Steuerbytes berechnen (Anzahl Rohbits - Anzahl Dateibits)

  • Anzahl Frames berechnen

  • Anzahl Frames pro Sekunde berechnen

  • Anzahl Bits pro Frame berechnen

  • Anzahl Datenbits pro Frame berechnen





Verstärkung und Dämpfung (2LJ)

In der Signaltechnik werden Leistungen und Spannungen über das logarithmische Verhältnis ausgerechnet und in Verstärkung/Dämpfung oder Pegel angegeben.

  • Verstärkung liegt dann vor, wenn das Ausgangssignal größer als das Eingangssignal ist. ()
  • Dämpfung liegt dann vor, wenn das Ausgangssignal kleiner als das Eingangssignal ist. ()


Achtung: Die Aufgaben vom Herrn Nägele rechnen meist mit der Dämpfung !!'Achtung: Bei den Materialien von unserem Lehrer wird fürVerstärkung und für Dämpfung ('Attenuation) genutzt.

Formeln für die (Relative) Verstärkung (V)

Hierbei wird das Ausgangssignal mit dem Eingangssignal dividiert.

  • Ist das Ergebnis positiv handelt es sich um eine Verstärkung.
  • Ist das Ergebnis negativ handelt es sich um eine Dämpfung.


Das vereinfacht weitere Berechnungen und man sieht auf den ersten Blick, ob man es mit Verstärkung oder Dämpfung zu tun hat.

(In Fachbüchern oft als "Leistungsverstärkungsmaß " bezeichnet, wobei das G für "Gain" steht)

Zusatz: Grundprinzip (Wie man auf die Formeln kam und wofür Bel ist)

Quelle: https://www.youtube.com/watch?v=NNm75mMCY1Q


Grundsätzliche Aufgabenstellung: Man hat die Leistung beim Eingang () und die Leistung beim Ausgang () gemessen, und möchte die Differenz berechnen.

Dies könnte man ganz einfach mit berechnen. Bei den Beispielwerten von und wäre dies . Nun weiß man dass die Ausgangsleistung 1000-mal größer ist als die vom Eingang.

  • Dieser Einheitslose Wert wird simpel gennant. (Oder wenn die Dämpfung berechnet wurde.)


Um die Zahl kleiner zu machen ist man dann her-gegangen und hat sich die -Funktion zu-Nutze gemacht, da die ja bekannt dafür ist Zahlen zu verkleinern. Nun würde die Formel so aussehen .

  • Damit man die Resultierende Zahl von einer herkömmlichen Zahl unterscheiden kann ist man her-gegangen und hat eine neue "Einheit" erfunden: , kurz . Unser Beispiel würde nun so aussehen: .
  • Da diese Zahl in den meisten Fällen immer-noch zu klein ist hat man sich entschlossen immer gleich in DEZIbel zu rechnen (ein 10'tel eines Bel's, kurz ): . Unser Beispiel würde nun so aussehen:


Sprich: (sowie etc..) ist keine Physikalische Einheit!


Formel für die (Relative) Dämpfung (A)

Hierbei wird das Eingangssignal mit dem Ausgangssignal dividiert.

  • Ist das Ergebnis positiv handelt es sich um eine Dämpfung.
  • Ist das Ergebnis negativ handelt es sich um eine Verstärkung.



Weitere Formeln mit Bezug auf Verstärkung/Dämpfung

Diese Formeln hat uns der Lehrer nie erklärt und hat einfach gedacht dass wir die schon wissen!! (TODO es gibt noch viele weitere bei denen es nie eine Erklärung gab - weswegen zB. auch die meisten bei den Multiple-Choice Fragen der Online-MAÜ einfach geraten haben, und wieso auch die meisten manche Blätter/Aufgaben nie gemacht haben...)

Ausgangsspannung mithilfe von Dämpfung (A) und Eingangsspannung (UE) berechnen

gegeben:
 Eingangsspannung  in 
 Dämpfung  in 
 
gesucht:
 Ausgangsspannung  in 
  • Formel:


Eingangsspannung mithilfe von Dämpfung (A) und Ausgangsspannung (UA) berechnen

(Umkehrung der obrigen Formel)

gegeben:
 Ausgangsspannung  in 
 Dämpfung  in 
 
gesucht:
 Eingangsspannung  in 
  • Formel:


Mögliche Kabellänge berechnen die die gewünschte Ausgangsspannung hat

gegeben:
 Eingangsspannung  in 
 (gewünschte) Ausgangsspannung  in 
 
 Dämpfung pro X Meter  in 
 X Meter 

gesucht:
 Länge  in 
  • Zuerst muss die Relative Dämpfung berechnet werden:

  • Formel:


Beispiel: AB Dämpfung S1, Aufgabe 3

Aufgabenstellung: 
Ein Kabel hat eine Dämpfung von 12 dB. 

Wie groß ist die Spannung am Ausgang, wenn die Eingangsspannung 340 mV ist?


Schritt-für-Schritt Lösung

  • Text dechiffrieren:
gegeben:
 Dämpfung : 12 dB
 Eingangsspannung : 0.34 V

gesucht:
 Ausgangsspannung : ? V
  • Ausgangsspannung mithilfe von Dämpfung (A) und Eingangsspannung (UE) berechnen:


Beispiel: AB Dämpfung S1, Aufgabe 4

Gleiches Schema wie bei "S1, Aufgabe 3"!


Beispiel: AB Dämpfung S1, Aufgabe 5

Aufgabenstellung: 
Ein Netzwerkkabel weist am Eingang eine Spannung von 3,2 V auf. 
Am Ausgang ist die Spannung auf 1,7 V gesunken. 

Wie groß ist die Dämpfung des Kabels?


Schritt-für-Schritt Lösung

  • Text dechiffrieren:
gegeben:
 Eingangsspannung : 3.2 V
 Ausgangsspannung : 1.7 V

gesucht:
 Dämpfung : ? dB
  • Relative Dämpfung in dB berechnen:


Beispiel: AB Dämpfung S1, Aufgabe 6

Gleiches Schema wie bei "S1, Aufgabe 5"!


Beispiel: AB Dämpfung S1, Aufgabe 7

Aufgabenstellung: 
Der High-Pegel eines Datensignales ist auf 2,5 V gesunken. Es soll nun um den Faktor 2 verstärkt werden. 
Wie groß ist das Verstärkungsmaß in dB und wie groß ist die Ausgangsspannung des Verstärkers?


Schritt-für-Schritt Lösung

  • Text dechiffrieren:
gegeben:
 Eingangsspannung : 2.5 V
 Verstärkungsfaktor : 2

gesucht:
 Verstärkung : ? dB
 Ausgangsspannung : ? V
  • Eingangsspannung mit dem Verstärkungsfaktor multiplizieren:

  • Relative Verstärkung in dB berechnen:


Beispiel: AB Dämpfung S1, Aufgabe 8

Herr Nägele hat diese Augabe eingeklammert und wir müssen sie nicht machen! (Zu hoch / Nicht gelernt / Nicht für uns?)

Beispielhafter Spannungsverlauf bei serieller Übertragung mit einem UART und den zulässigen Spannungsbereichen. Siehe Wikipedia-Eintrag zu RS-232 (Bild vonWikimedia )


Aufgabenstellung: 
RS-232 ist eine Spannungsschnittstelle. Für die Datenleitungen (TxD und RxD) wird eine negative Logik verwendet, wobei eine Spannung zwischen −3 V und −15 V (ANSI/EIA/TIA-232-F-1997) eine logische Eins und eine Spannung zwischen +3 V und +15 V eine logische Null darstellt. Signalpegel zwischen −3 V und +3 V gelten als undefiniert. Bild 3: RS232-DÜ

Am Ausgang eines Datenkabels hat das Low-Signal die Spannung 3V erreicht. Nun soll diese um den Faktor 5 verstärkt werden. Wie groß ist das Verstärkungsmaß in dB und wie groß ist die Ausgangsspannung des Verstärkers?



Beispiel: AB Dämpfung S1, Aufgabe 9

Aufgabenstellung: 
Die Dämpfung eines Kabels beträgt bei einer Frequenz von 20 MHz 2,3 dB und bei 100 MHz 2,8 dB. 
Um wie viel mV ist die Ausgangsspannung bei 100 MHz kleiner als bei 20 MHz, wenn die Eingangsspannung jeweils 1,2 V beträgt?


Schritt-für-Schritt Lösung

  • Text dechiffrieren:
gegeben:
 Eingangsspannung : 1.2 V
 Relative Dämpfung bei 20 Mhz : 2.3 dB
 Relative Dämpfung bei 100 Mhz : 2.8 dB

gesucht:
 Ausgangsspannung bei 20 Mhz : ? V
 Ausgangsspannung bei 100 Mhz : ? V
 Differenz der beiden Ausgangsspannungen : ? V
  • Ausgangsspannungen mithilfe von Dämpfung (A20 / A100) und Eingangsspannung (UE) berechnen:


  • Unterschied berechnen:


Beispiel: AB Dämpfung S1, Aufgabe 10

Aufgabenstellung: 
Auf dem Datenblatt eines Kabels ist eine Dämpfung von 6 dB pro 100m angegeben. Nun werden 64 m dieses Kabels benötigt. 

Wie groß ist die Ausgangsspannung, wenn am Eingang eine Spannung von 1,7 V angelegt wird?


Schritt-für-Schritt Lösung

  • Text dechiffrieren:
gegeben:
 Dämpfung pro X Meter : 6 dB/m
 X Meter: 100 m
 Zu verlegende Kabellänge : 64 m

 Eingangsspannung : 1.7 V

gesucht:
 Ausgangsspannung : ? V
  • Relative Dämpfung bei 64-Meter Kabellänge berechnen:

  • Ausgangsspannung mithilfe von Dämpfung (A) und Eingangsspannung (UE) berechnen:


Beispiel: AB Dämpfung S1, Aufgabe 11

Aufgabenstellung: 
Am Kabel von Aufgabe 10. liegt am Eingang nun eine Spannung von 4,2 V. 

Wie viel Meter Kabel dürfen verlegt werden, damit am Ausgang noch eine Spannung von 700 mV vorhanden ist?


Schritt-für-Schritt Lösung

  • Text dechiffrieren:
gegeben:
 Dämpfung pro X Meter : 6 dB/m
 X Meter: 100 m

 Eingangsspannung : 4.2 V
 (gewünschte) Ausgangsspannung : 0.7 V

gesucht:
 Mögliche Kabellänge : ? m

Formeln von Mögliche Kabellänge berechnen die die gewünschte Ausgangsspannung hat:

  • Relative Dämpfung ausrechnen:

  • Länge berechnen:


Beispiel: AB Dämpfung S1, Aufgabe 12

Gleiches Schema wie bei "S2, Aufgabe 25"!


Beispiel: AB Dämpfung S2, Aufgabe 13

Gleiches Schema wie bei Aufgabe 9. Unterschied ist nur das hier noch mehr Informationen gegeben sind (die unnötig sind), was die Aufgabe schwieriger erscheinen lässt als sie ist!!

Aufgabenstellung: 
Für die Messwerte in der folgenden Tabelle befanden sich dünne Koaxialkabel mit 2,7mm Mantel-Durchmesser bei uns im Test. 
Die Dämpfung eines Koaxialkabels RG 174 beträgt bei einer Frequenz von 10 MHz 9,5 dB pro 100 m und bei 100 MHz 30 dB. 

Um wie viel mV ist die Ausgangsspannung bei 100 MHz kleiner als bei 10 MHz, wenn die Eingangsspannung jeweils 5 V beträgt?
Test Koaxialkabel (Ø = 2,7mm) Quelle: FTS-Henning.at
Frequenz in MHz 10 30 100 500 1000 1500 2000 2500
RG 174 (dB/100m) 9,5 18,5 30 70 110 110 130 187
RG 316 (dB/100m) 8,1 15,6 28 67 102 137 162 170
FTS-H 100 Twin LowLoss (dB/100m) 4,7 8,2 21 50 70 80 100 140


Schritt-für-Schritt Lösung

  • Text dechiffrieren:
gegeben:
 Eingangsspannung : 5 V
 Relative Dämpfung bei 10 Mhz : 9,5 dB
 Relative Dämpfung bei 100 Mhz : 30 dB

gesucht:
 Ausgangsspannung bei 10 Mhz : ? V
 Ausgangsspannung bei 100 Mhz : ? V
 Differenz der beiden Ausgangsspannungen : ? V
  • Ausgangsspannungen mithilfe von Dämpfung (A20 / A100) und Eingangsspannung (UE) berechnen:


  • Unterschied berechnen:



Beispiel: AB Dämpfung S2, Aufgabe 15

Gleiches Schema wie bei "S1, Aufgabe 3"! (Ausgangsspannung mithilfe von Dämpfung und Eingangsspannung berechnen)

Beispiel: AB Dämpfung S2, Aufgabe 16

Gleiches Schema wie bei "S1, Aufgabe 3"! (Ausgangsspannung mithilfe von Dämpfung und Eingangsspannung berechnen)

Beispiel: AB Dämpfung S2, Aufgabe 17

Gleiches Schema wie bei "S1, Aufgabe 5"! (Relative Dämpfung in dB berechnen)

Beispiel: AB Dämpfung S2, Aufgabe 18

Gleiches Schema wie bei "S1, Aufgabe 5"! (Relative Dämpfung in dB berechnen)

Beispiel: AB Dämpfung S2, Aufgabe 19

Gleiches Schema wie bei "S1, Aufgabe 7"! (Eingangsspannung mit dem Verstärkungsfaktor multiplizieren um die Ausgangsspannung zu kriegen, um dann die Relative Verstärkung in dB berechnen zu können)

Beispiel: AB Dämpfung S2, Aufgabe 20

Gleiches Schema wie bei "S1, Aufgabe 7"! (Eingangsspannung mit dem Verstärkungsfaktor multiplizieren um die Ausgangsspannung zu kriegen, um dann die Relative Verstärkung in dB berechnen zu können)

Beispiel: AB Dämpfung S2, Aufgabe 23

Gleiches Schema wie bei "S1, Aufgabe 10"! (Relative Dämpfung bei Kabellänge berechnen, um dann die Ausgangsspannung mithilfe von Dämpfung und Eingangsspannung berechnen zu können)

Beispiel: AB Dämpfung S2, Aufgabe 24

Gleiches Schema wie bei "S1, Aufgabe 11"! (Relative Dämpfung berechnen, um dann die mögliche Kabellänge zu berechnen die die gewünschte Ausgangsspannung hat)

Beispiel: AB Dämpfung S2, Aufgabe 25

Aufgabenstellung: 
Ein Koax-Erdkabel für 200 MHz hat eine Dämpfung von 5 dB/100m. 
Es soll eine Entfernung von 8 km überbrückt werden. 
Die Ausgangsspannung soll 4,8 V sein. 
In Abständen von 1 km werden Verstärker von je 50 dB eingebaut. 

Zu berechnen sind:
 a) Dämpfungsmaß der gesamten Übertragungsstrecke,
 b) Dämpfungsfaktor und
 c) einzuspeisende Spannung:


Schritt-für-Schritt Lösung

  • Text dechiffrieren:
gegeben:
 (gewünschte) Ausgangsspannung : 4.8 V
 
 Dämpfung pro 100 Meter : 5 db/100m
 Länge : 8000 m
 
 Additionale Gesamt-Verstärkung durch Verstärker : 8 x 50 dB = 400 dB

gesucht:
 Dämpfungsmaß der gesamten Übertragungsstrecke : ? dB
 Dämpfungsfaktor : ?
 Eingangsspannung : ? V
  • Dämpfung der Kabel berechnen:

  • Die Verstärkung unserer Verstärker von der Kabel-Dämpfung subtrahieren:

  • Eingangsspannung mithilfe von unserer eigentlichen Dämpfung (A) und Ausgangsspannung (UA) berechnen

  • Dämpfungsfaktor (a) berechnen: